Ngữ pháp của động lực học
Một phương trình vi phân là một phương trình chứa một hàm chưa biết và một vài đạo hàm của nó. Để nói được ngôn ngữ của các phương trình vi phân, chúng ta phải xác định vai trò của các biến:
- Biến độc lập ($t$): Thường biểu thị thời gian hoặc vị trí.
- Biến phụ thuộc ($P$ hoặc $y$): Biểu thị trạng thái của hệ thống (ví dụ: kích thước dân số).
- Bậc: Là đạo hàm cao nhất xuất hiện trong phương trình. Ví dụ, $y'' + y = 0$ là một phương trình bậc hai.
Mô hình tăng trưởng tự nhiên
Xét luật tăng trưởng tự nhiên: tốc độ thay đổi của một quần thể tỷ lệ thuận trực tiếp với kích thước của nó. Điều này dẫn đến phương trình vi phân bậc nhất:
$$\frac{dP}{dt} = kP$$
Ở đây, $k$ là tốc độ tăng trưởng tương đối. Mô hình này gợi ý rằng quần thể càng lớn thì càng tăng nhanh — dấu hiệu đặc trưng của hành vi mũ.
Kiểm tra nghiệm
Làm thế nào để biết một hàm có phải là nghiệm hay không? Nó phải thỏa mãn đẳng thức với mọi $t$.
Cho $P(t) = Ce^{kt}$. Chúng ta tính đạo hàm:
$$P'(t) = \frac{d}{dt}(Ce^{kt}) = C(ke^{kt}) = k(Ce^{kt})$$
Vì $Ce^{kt} = P(t)$, ta có $P'(t) = kP(t)$. Đẳng thức đúng!
Điều kiện ban đầu và tính duy nhất
Nghiệm $P = Ce^{kt}$ thực ra là một họ nghiệm. Để tìm một đường cong cụ thể, chúng ta cần một điều kiện ban đầu, such as $P(0) = P_0$. This physical constraint allows us to solve for $C$, identifying the unique trajectory of our system. Note: In biological contexts, we restrict $C > 0$ because populations cannot be negative.